アイコンをボタンと分かるように枠で囲う

アイコンだけだと押せるということすらわかりにくい。
ボタンであることを知らせるために、枠線をつけてみる。

アイコンじゃなくて[MENU]と書いてしまう

そもそもかっこつけてアイコンにしなくてもテキストいいんじゃない？

アイコンとテキストを両方入れる

よりよくするためには、アイコンとテキスト両方あるといいでしょ
わかりやすさで言うと、[MENU]よりも[メニュー]の方がいいでしょうね。
英語にするのは、日本人を対象とする場合はパッと見てわかりにくいのであまりよくないです。

主要なメニューを表示させて、残りはメニューに格納

メニューの中には優先度の高いリンクもあるでしょう。
メニュー以外にも少しはボタンを配置できる場所があるわけで、優先度の高いもののいくつかをメニューとして表示します。
ボタンだけのものやテキストが添えられたものなどあります。
表示できる限りメニューを表示して、あふれた分だけメニューボタンに格納します。
これならタブレットなどのいろいろなデバイスでも対応できます。
サンブルでは[all]などの表現で表示させたりしてます、他にも[more]というボタンで表現するサイトもあるそうです。

タブ形式で表示して、左右に移動できる

全てのメニューを表示して、左右に動かせる。
アプリなどで使用される形式ですね、メニューというよりもカテゴリとかで使われます。
これも左右に移動できることを認識させるなんらかの工夫が必要です。